2012/06/21 10:51:23
Дьёдонне как-то писал, что обучение классической геометрии в школе — анахронизм, причём скорее вредный, а учить надо сразу аналитической геометрии. Практической пользы с геометрии, как известно, весьма мало, а преподают её чтобы привить ученикам культуру математических доказательств и математического моделлирования. Дьёдонне указывает на то, что система аксиом Эвклида (в отличие от аксиом векторного пространства, например) на самом деле очень сложна и неуклюжа. Вести в полном смысле строгие доказательства на базе этих аксиом настолько сложно и противоестественно, что этим никто не занимается, а если занимаются, то скорее во вред ученикам, потому что приведение в строгую форму во-первых является нудным упражнением, а во-вторых запутывает доказательство, вместо того чтобы прояснять его. Правильность же “не совсем строгих” доказательств оценивается на глазок и на зубок учителями, что уже как-то совсем странно. Такие “простые” доказательства, в то же время могут быть очень сложны для восприятия другими учениками, т.к. содержат отсылы к нетривиальным наблюдениям, которые кажутся очевидными лишь людям, вникнувшим в задачу.

В то же время, утверждает Дьёдонне, современные аксиоматические системы (в первую очереть, аксиомы векторного пространства), так стройны и просты, что строгие доказательства ученикам 5-6 класса уже под силу. Дьёдонне предлагает с 4-5 класса преподавать аналитическую геометрию и линейную алгебру и так сказать с самого начала приучать людей к совершенно строгим и в то же время простым доказательствам.

У меня по этому повод возникло два рода размышлений:
1) Эвклидова геометрия в школе вообще не то чтобы выводится из аксиом, по факту масса теорем “доказывается” наглядно, а не из аксиом. Один из самых ярких примеров — теорема Пифагора. У неё есть масса наглядных доказательств, например через площади. И эти доказательства хороши! Не в контексте строгой математики, а в контексте моделирования, как взгляда на мир, если угодно.

В контексте моделирования, наверное, идеально взять вместо аксиом Эвклида аксиомы Биркгофа. Во-первых, их 4, и они сразу точные, и прямо мотивируются через линейку с транспортиром. У Эвклида либо 6 неточных постулатов, либо в переформулированном Гильбертом варианте 20 точных. Но “наглядному” доказательству той же теоремы Пифагора это не поможет — формализация доказательства через площади в аксиоматике Бирхгофа всё ещё нетривиальное и слегка извращённое упражнение.

2) Вот как конкретно себе представить курс линейной алгебры для детей лет девяти? Дьёдонне же о них говорит.

Обучить координатам просто, многие дети уже и в семь лет с удовольствием чертят домики по записанному набору координат отрезков и находят координаты заданных точек в разных системах координат. Можно быстро показать, как выглядят преобразования координат — сперва сдвиги, изотропное растяжение, потом всякие там прикольные на вид преобразования Мёбиуса.

Можно быстро научить пониманию параметрически заданных кривых, как траекторий движения точки по системе координат. Особенно просто показать, как параметрически задаётся движение по прямой и соответственно доказать, что максимально общее преобразование координат, которое переводит прямые в прямые — линейное преобразование, с этого момента можно показывать матрицы, показывать как они действуют, как перемножаются; выделить среди них растяжения, отражения и вращения, показать SVD-разложение и прочее-прочее. Получается, что это всё наглядно, но связано с большим количеством довольно топорных вычислений.

Первый вопрос получается в том, на каком этапе, собственно вводить аксиомы и какие. Второй — на каком этапе и как вводить углы?
0 посетителей, 30 комментариев, 0 ссылок, за 24 часа